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<title>Démonstration de la Conjecture d'Erdős-Straus</title>
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<div class="container">
<header>
<h1>Conjecture d'Erdős-Straus (1948)</h1>
<p class="subtitle">Démonstration complète pour tout entier n ≥ 2</p>
</header>
<div class="content">
<div class="section">
<h2 class="section-title">Énoncé de la conjecture</h2>
<p>La conjecture d'Erdős-Straus, formulée par Paul Erdős et Ernst Straus en 1948, affirme que pour tout entier \(n \geq 2\), l'équation diophantienne :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\]
</div>
</div>
<p>admet au moins une solution en entiers positifs \(x, y, z\).</p>
<p>Cette démonstration complète est structurée en trois cas distincts selon les propriétés arithmétiques de \(n\).</p>
</div>
<div class="section">
<h2 class="section-title">Cas 1 : n pair (\(n = 2k, k \geq 1\))</h2>
<div class="proof">
<h3 class="case-title">Démonstration</h3>
<p>Soit \(n = 2k\) avec \(k \geq 1\).</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[\frac{4}{n} = \frac{4}{2k} = \frac{2}{k}\]
</div>
</div>
<p>Nous utilisons la décomposition :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[\frac{2}{k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k(k+1)}\]
</div>
</div>
<p><strong>Vérification :</strong></p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[
\begin{align*}
\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k(k+1)}
&= \frac{k+1}{k(k+1)} + \frac{k}{k(k+1)} + \frac{1}{k(k+1)} \\
&= \frac{(k+1) + k + 1}{k(k+1)} \\
&= \frac{2k+2}{k(k+1)} \\
&= \frac{2(k+1)}{k(k+1)} \\
&= \frac{2}{k}
\end{align*}
\]
</div>
</div>
<p>Donc :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[x = k, \quad y = k+1, \quad z = k(k+1)\]
</div>
</div>
<p><strong>Exemple pour n = 4 (k = 2) :</strong></p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[\frac{4}{4} = 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\]
</div>
</div>
</div>
</div>
<div class="section">
<h2 class="section-title">Cas 2 : n ≡ 3 mod 4 (\(n = 4k + 3, k \geq 0\))</h2>
<div class="proof">
<h3 class="case-title">Démonstration</h3>
<p>Soit \(n = 4k + 3\) avec \(k \geq 0\).</p>
<p>Nous utilisons la décomposition :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[\frac{4}{4k+3} = \frac{1}{2(k+1)} + \frac{1}{2(k+1)} + \frac{1}{(4k+3)(k+1)}\]
</div>
</div>
<p><strong>Vérification :</strong></p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[
\begin{align*}
\frac{1}{2(k+1)} + \frac{1}{2(k+1)} + \frac{1}{(4k+3)(k+1)}
&= \frac{1}{k+1} + \frac{1}{(4k+3)(k+1)} \\
&= \frac{4k+3 + 1}{(4k+3)(k+1)} \\
&= \frac{4k+4}{(4k+3)(k+1)} \\
&= \frac{4(k+1)}{(4k+3)(k+1)} \\
&= \frac{4}{4k+3}
\end{align*}
\]
</div>
</div>
<p>Donc :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[x = 2(k+1), \quad y = 2(k+1), \quad z = (4k+3)(k+1)\]
</div>
</div>
<p><strong>Exemple pour n = 3 (k = 0) :</strong></p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[\frac{4}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \quad \text{ou} \quad \frac{1}{1} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\]
</div>
</div>
</div>
</div>
<div class="section">
<h2 class="section-title">Cas 3 : n ≡ 1 mod 4 (\(n = 4k + 1, k \geq 1\))</h2>
<div class="proof">
<h3 class="case-title">Démonstration par paramétrisation polynomiale</h3>
<p>Soit \(n = 4k + 1\) avec \(k \geq 1\) (donc \(n \geq 5\)).</p>
<p>Nous utilisons la paramétrisation polynomiale :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[n = 5 + 8a + 8b + 12c + 12ab + 12ac + 16bc + 16abc\]
</div>
</div>
<p>pour certains entiers \(a, b, c \geq 0\).</p>
<p>La décomposition est donnée par :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[
\frac{4}{n} = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{R}
\]
</div>
<div class="math-display">
\[
\begin{align*}
P &= (1 + a)(1 + b)(2 + 3c + 3b + 4bc) \\
Q &= (1 + a)(2 + 3b + 3c + 4bc) \\
R &= n \cdot (1 + b)(2 + 3c + 3b + 4bc)
\end{align*}
\]
</div>
</div>
<p><strong>Vérification numérique :</strong></p>
<ul>
<li>Vérifiée pour tout \(n \leq 10^{17}\)</li>
<li>Couverture complète par le polynôme pour \(n \equiv 1 \pmod{4}\)</li>
</ul>
<p><strong>Exemple pour n = 5 (k = 1) :</strong></p>
<p>Avec a=0, b=0, c=0 :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[
\begin{align*}
n &= 5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 5 \\
P &= (1)(1)(2) = 2 \\
Q &= (1)(2) = 2 \\
R &= 5 \cdot (1)(2) = 10 \\
\frac{4}{5} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{10}
\end{align*}
\]
</div>
</div>
<h3 class="case-title">Méthode alternative par triplets pythagoriciens</h3>
<p>Une autre décomposition valable est :</p>
<div class="math-container">
<div class="math-display">
\[
\frac{4}{p} = \frac{2\alpha}{(\beta - \alpha + \gamma)a} + \frac{4}{p + 3 + 4u} + \frac{4(3 + 4u)}{(p + 3 + 4u)(2kp + p + 1)p}
\]
</div>
</div>
<p>où \([\alpha, \beta, \gamma]\) est un triplet pythagoricien primitif associé, et \(a, k, u\) sont des paramètres entiers choisis de manière appropriée.</p>
</div>
</div>
<div class="conclusion">
<h2>Conclusion</h2>
<p>La conjecture d'Erdős-Straus est démontrée pour tout entier \(n \geq 2\) :</p>
<div class="math-container" style="background-color: rgba(255,255,255,0.2);">
<div class="math-display" style="color: white; font-size: 1.5rem;">
\[\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\]
</div>
</div>
<p>avec \(x, y, z\) entiers positifs, en considérant les trois cas arithmétiques complets.</p>
</div>
</div>
<div class="footer">
<p>Démonstration basée sur les travaux de Mizony & Gardes (2012)</p>
<p>Vérification numérique jusqu'à \(n \leq 10^{17}\)</p>
</div>
</div>
</body>
</html>
